复利公式（配合真实数字）
复利公式是 A = P(1 + r/n)^(nt)，其中 A 是最终金额，P 是本金（初始投入），r 是年利率（用小数表示），n 是每年计息次数，t 是年数。就这一个公式。所有储蓄账户、投资回报预测和贷款分期还款计算，都在用它或它的变体。
来看一个具体例子。你投资 ¥100,000，年回报率 7%（大致相当于沪深300扣除通胀后的历史平均值），按月复利，持续 20 年。P = 100,000，r = 0.07，n = 12，t = 20。A = 100,000 × (1 + 0.07/12)^(12×20) = 100,000 × (1.005833)^240 = 100,000 × 4.0387 = ¥403,870。你的钱翻了四倍，而你一分钱都没有追加。这就是复利。
对比一下单利（不计复利）：A = P(1 + rt) = 100,000 × (1 + 0.07×20) = 100,000 × 2.4 = ¥240,000。复利让你多赚了 ¥163,870——比单利多出 68%。而且这个差距随时间呈指数级增长。30 年后：复利得到 ¥761,230，单利只有 ¥310,000。40 年后：复利得到 ¥1,497,450，单利只有 ¥380,000。时间才是真正的放大器。
为什么复利频率重要（什么时候不重要）
复利频率（公式里的 n）决定了利息多久开始产生自己的利息。年复利（n=1）：一年算一次利息。月复利（n=12）：每月算一次。日复利（n=365）：每天算一次。连续复利（n→∞）：数学上的极限情况，用公式 A = Pe^(rt) 计算。
实际差别比大多数人想象的小。¥100,000 按 7% 利率存 20 年：年复利 = ¥386,970，月复利 = ¥403,870，日复利 = ¥405,520，连续复利 = ¥405,520。从年复利到月复利有明显差别（¥16,900）。从月复利到日复利很小（¥1,650）。从日复利到连续复利可以忽略不计（¥4）。大部分银行存款按日计息，实际效果跟连续复利没有区别。
频率真正重要的场景：信用卡债务。24% 年利率按日复利意味着你的余额每天被收取 0.0657% 的利息。如果你 ¥50,000 的信用卡余额一年不还，你会欠 ¥63,560（而不是单利计算的 ¥62,000）。日复利多出了 ¥1,560 的额外利息。信用卡公司用日复利是因为这能让你欠更多。我们的利息计算器可以让你直接对比不同复利频率的结果。
APR 和 APY 的区别：APR（年化百分率）是不含复利效果的名义利率。APY（年化收益率）包含了复利的影响。一个宣传"APY 5.00%"的储蓄账户，如果按日计息，实际 APR 只有 4.88%。银行在存款产品上喜欢标 APY（数字看起来更高），在贷款上喜欢标 APR（数字看起来更低）。比较利率时要统一口径——APY 比 APY，或 APR 比 APR，千万别混着比。
72法则（心算利器）
72 法则可以快速估算你的钱翻倍需要多久：用 72 除以年回报率百分比。7% 回报率下，翻倍时间 = 72/7 ≈ 10.3 年。10% 回报率，7.2 年翻倍。3%（普通银行存款），24 年才翻倍。这个估算在利率 4% 到 12% 之间误差不超过 1%。
反过来用也很好使。如果你想 5 年内让钱翻倍，需要 72/5 = 14.4% 的年回报率。如果有人承诺 2 年翻倍，那需要 72/2 = 36% 的年回报率——这应该立刻触发你的骗局警报。沪深300自2005年以来单年涨幅纪录是 2007 年的约 161%，但那是极端牛市。持续 36% 的年回报率在合法投资里不存在。
要算翻三倍的时间，用 115 法则（115 除以利率）。翻四倍用 144 法则（其实就是翻两次倍，72×2）。按 7% 算：翻倍 10.3 年，翻三倍 16.4 年，翻四倍 20.6 年。这些心算技巧能帮你快速评估各种投资宣传。如果理财顾问说你的组合 10 年内能增长 5 倍，那需要年回报约 17.5%（72 法则算出翻倍时间 4.1 年）——不是不可能，但非常激进。
定期投入（真正的财富引擎）
基础复利公式假设你只投入一笔钱然后坐等。现实中，大多数人是定期投入——每月往基金定投 ¥3,000，或每月存 ¥2,000 进养老金账户。定期投入的公式是：A = P(1+r/n)^(nt) + PMT × [((1+r/n)^(nt) - 1) / (r/n)]。第一项是初始投入的增长，第二项是所有定期投入的累积价值。
举例：每月投入 ¥3,000，持续 30 年，年回报 7%（月复利），起始资金 ¥0。PMT = 3,000，r = 0.07，n = 12，t = 30。定投累积值：3,000 × [((1.005833)^360 - 1) / 0.005833] = 3,000 × [(8.1165 - 1) / 0.005833] = 3,000 × 1,219.97 = ¥3,659,910。你总共投入 ¥1,080,000（3,000 × 360 个月）。复利帮你赚了 ¥2,579,910——是你本金投入的 2.4 倍。
早开始有多重要？小王从 25 岁开始每月投 ¥3,000，投到 35 岁停止（10 年，共投入 ¥360,000）。小李从 35 岁开始每月投 ¥3,000，投到 65 岁（30 年，共投入 ¥1,080,000）。按 7% 年回报算，小王在 65 岁时有 ¥3,612,420。小李在 65 岁时有 ¥3,659,910。两人最终金额几乎一样，但小王只投了三分之一的钱。10 年的先发优势让复利替他完成了剩下的工作。
用我们的贷款计算器可以模拟不同的定投方案。影响最终结果的因素（按重要性排序）：投资时间、投入金额、回报率。回报率每高 1%，30 年后最终金额增加约 25%。早开始 5 年，金额增加约 40%。每月多投 ¥1,000 只是线性增加一个固定量。时间和利率带来指数增长，投入金额只是线性增加。
复利对你不利的时候（债务）
让投资增长的数学公式，同样会让债务失控。¥50,000 的信用卡余额，年利率 24%（日复利），只还最低还款额（通常是余额的 2% 或 ¥250 取较大值）：需要 28 年才能还清，利息总额 ¥82,750。你为 ¥50,000 的消费总共支付了 ¥132,750。复利公式完全一样——只不过是银行在赚你的钱。
助学贷款也是如此：¥200,000 贷款，利率 5.5%，10 年标准还款期：每月还 ¥2,168，总还款 ¥260,160，利息 ¥60,160。如果延长到 25 年（降低月供方案）：每月还 ¥1,228，总还款 ¥368,400，利息 ¥168,400。月供低了，但多付了 ¥108,240 的利息。复利奖励快速还款的人，惩罚慢慢还的人。
债务雪崩策略：所有债务都只还最低还款额，然后把每一分多余的钱砸向利率最高的那笔债务。这种方法能让你支付的总利息最少。债务滚雪球法（先还金额最小的债务）心理上更有成就感，但数学上不是最优。在 ¥300,000 的混合债务中，雪崩法通常能比滚雪球法省下 ¥15,000 到 ¥30,000。用我们的百分比计算器可以对比不同还款策略的利息成本。
一个应该让你警醒的数字：如果你每月投资 ¥3,000，按 7% 年回报投 30 年，你会得到 ¥3,660,000。如果你反过来每月在信用卡上背着 ¥3,000 的最低还款额，年利率 24%，持续 30 年，你大约要支付 ¥1,080,000 的利息（因为最低还款额大部分都在付利息，本金几乎不减少）。债务的机会成本不只是利息本身——还有你没能赚到的投资回报。
通胀：复利增长的隐形税
7% 的名义回报率减去 3% 的通胀，实际回报约 4%（精确公式是 (1.07/1.03) - 1 = 3.88%，不是简单的 7-3=4%）。30 年后，¥100,000 按 7% 名义回报增长到 ¥761,230。但如果换算成今天的购买力（扣除 3% 通胀），实际值只有 ¥761,230 / (1.03)^30 = ¥313,500。仍然是 3 倍的实际回报，但远不是名义数字暗示的 7.6 倍。
72 法则对通胀同样适用。3% 的通胀率意味着物价每 24 年翻一倍。今天 ¥100 的东西，2050 年要 ¥200。这意味着你的投资回报至少要跑赢通胀才能保住购买力。一个付 2% 利息的银行存款，在 3% 通胀环境下，意味着你每年损失 1% 的购买力——虽然账户余额在涨，但你的钱实际上在缩水。
历史数据参考：中国 CPI 过去 20 年平均约 2.5%。沪深300指数年化回报约 8-10%（名义），扣除通胀后实际回报约 5.5-7.5%。银行定期存款约 2-3%（名义），实际回报接近 0 甚至为负。长期来看，权益类资产是唯一能持续跑赢通胀的品种。但"长期"意味着 15 年以上——任何 5 年窗口内，股市都可能跑输通胀。
退休规划的关键：用实际回报率（扣除通胀后），不要用名义值。如果你退休后需要每年 ¥120,000 的今天购买力，30 年后你实际需要约 ¥291,000 的名义收入（按 3% 通胀计算）。规划时要用实际购买力数字。我们的汇率换算工具可以帮你理解不同时间段和经济体之间的购买力变化。
复利假设失效的时候
公式假设回报率恒定不变。真实投资不是这样的。沪深300在 2019 年涨了 36%，2022 年跌了 21%，2023 年又跌了 11%。回报出现的顺序很重要——先跌 50% 再涨 50% 并不会回到原点（你最终只剩起始值的 75%）。这叫"波动率拖累"，它意味着实际的复合增长永远低于算术平均回报率所暗示的水平。
公式假设你永远不取钱。现实中你终归要花这笔钱——退休后的生活开支、买房、应急。"4% 法则"（退休后每年提取投资组合的 4%）是基于历史模拟得出的结论：这个提取率在大多数市场条件下可以维持 30 年。但它不是保证——如果退休初期遇到大跌，组合可能比预期更快耗尽。
公式假设没有税。在非免税账户中，投资收益需要缴纳所得税（中国目前基金分红和赎回收益涉及不同税率）。税收会降低你的有效回报率。税收优惠账户（如企业年金、个人养老金账户）让复利在无税收拖累的环境下运作——这就是为什么应该优先用满这些额度。省下的税也会产生复利效应。
公式假设没有费用。基金每年 1% 的管理费听起来不多，但 30 年下来它会吃掉你最终余额的约 25%。¥100,000 按 7% 投 30 年 = ¥761,230。按 6%（扣除 1% 管理费）= ¥574,350。1% 的费用让你少了 ¥186,880。这就是为什么指数基金（管理费 0.1-0.5%）长期跑赢大部分主动管理基金（管理费 1-1.5%）。数学是残酷的。